Question

11．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，∠F₁MF₂=90°，若橢圓的離心率e∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]，則雙曲線C₂的離心率e₁的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{2\sqrt{14}}{7}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{2\sqrt{14}}{7}$，$\sqrt{2}$）
• C． [$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)MF₁=s，MF₂=t，由橢圓的定義可得s+t=2a，由雙曲線的定義可得s-t=2a₁，運(yùn)用勾股定理和離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)MF₁=s，MF₂=t，由橢圓的定義可得s+t=2a，
由雙曲線的定義可得s-t=2a₁，
解得s=a+a₁，t=a-a₁，
由∠F₁MF₂=90°，運(yùn)用勾股定理，可得
s²+t²=4c²，
即為a²+a₁²=2c²，
由離心率的公式可得，
$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$=2，
由e∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]，可得e²∈[$\frac{9}{16}$，$\frac{8}{9}$]，
即有2-$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{16}{9}$]，
解得e₁∈[$\frac{2\sqrt{14}}{7}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]．
由a₁＞b₁，可得e₁=$\sqrt{1+（\frac{_{1}}{{a}_{1}}）^{2}}$＜$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．