Question

3．給出下列命題：
①命題“若方程ax²+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a≤$\frac{1}{4}$”的逆命題是真命題；
②“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
④冪函數(shù)y=x^a（a∈R）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）
⑤“向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充分必要條件是“$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0”；
⑥方程sinx=x有三個(gè)實(shí)根．
其中正確命題的序號(hào)為②．

Answer 1

分析 ①根據(jù)逆命題的定義結(jié)合方程根的關(guān)系進(jìn)行判斷．
②根據(jù)三角函數(shù)的周期公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
③根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行判斷．
④根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．
⑤根據(jù)向量夾角和數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行判斷．
⑥構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：①命題“若方程ax²+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a≤$\frac{1}{4}$”的逆命題是若a≤$\frac{1}{4}$，則方程ax²+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)a=0時(shí)，方程等價(jià)為x+1=0，則x=-1，此時(shí)方程只有一個(gè)根，故①錯(cuò)誤；
②f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax，
若“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”，
則$\frac{2π}{2|a|}=π$，則|a|=1，則a=±1，
則充分性不成立，反之成立，
即“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件正確，故②正確，
③由f（x）=2^x-x²=0得2^x=x²，
作出兩個(gè)函數(shù)y=2^x和y=x²的圖象如圖，由圖象知兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故③錯(cuò)誤；
④冪函數(shù)y=x^a（a∈R）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，0），錯(cuò)誤，
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)（0，0），故④錯(cuò)誤，
⑤“向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充分必要條件是“$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0”且$\overrightarrow a$≠λ$\overrightarrow b$，λ＜0；故⑤錯(cuò)誤，
⑥設(shè)f（x）=sinx-x，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=cosx-1≤0，
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵f（0）=sin0-0=0，
∴f（x）=0的根只有一個(gè)0，解集方程sinx=x有一個(gè)實(shí)根．
故⑥錯(cuò)誤，
故正確的是②，
故答案為：②

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，充分條件和必要條件的判斷，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定 的難度．