Question

18．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，-1），$\overrightarrow$=（2cosx，1-2cos²x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并寫出f（x）的對稱軸方程；
（2）當x∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$）時，設經(jīng)過函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點的直線的斜率為k，試判斷k的符號，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意，用向量坐標運算寫出f（x）的表達式并化簡得到f（x）的解析式，用T=$\frac{2π}{ω}$求出最小正周期，結(jié)合函數(shù)圖象寫出其對稱軸方程；
（2）求出x∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$）時函數(shù)的單調(diào)性，再由k=$\frac{△y}{△x}$判斷k的符號．

解答 解：（1）由題意得，
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinx•2cosx+（-1）•（1-2cos²x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以T=π，
對稱軸：2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）即x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
所以對稱軸方程為：x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z）；
（2）因為x∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$），
所以2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{2}$），
所以y=f（x）在（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$）為減函數(shù)，
所以令x₁＞x₂且x₁，x₂∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$），則f（x₁）＜f（x₂），
所以k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
所以k＜0．

點評 本題考查學生對向量坐標運算，三角恒等變換以及三角函數(shù)性質(zhì)掌握情況，需要學生熟練掌握．