Question

4．集合A={x|9^x+p•3^x+q=0，x∈R}，B={x|q•9^x+p•3^x+1=0，x∈R}，且實(shí)數(shù)pq≠0
（1）證明：若x₀∈A，則-x₀∈B；
（2）是否存在實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足A∩B≠∅且A∩C_RB={1}？若存在，求出p，q的值，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）代入，轉(zhuǎn)化為同一種形式，即可證明，
（2）假設(shè)存在，由題意知集合A，B有且僅有一個(gè)公共元素，求出集合A，B的元素，代入，求出p，q即可．

解答 解：（1）證明：若x₀∈A，則${9^{x_0}}+p{3^{x_0}}+q=0$，可得$1+p{3^{-{x_0}}}+q{9^{-{x_0}}}=0$，即-x₀是方程q9^x+p3^x+1=0的實(shí)數(shù)根，即x₀∈B．
（2）假設(shè)存在，則根據(jù)A∩B≠∅，A∩C_RB={1}，易知集合A，B有且僅有一個(gè)公共元素，設(shè)A∩B={s}，
根據(jù)條件以及（1）有A={1，s}，B={-1，-s}，顯然 s≠-1，則有s=-s⇒s=0，
那么A={0，1}，B={0，-1}，代入方程有p+q+1=0，3p+q+9=0，
聯(lián)立解得$\left\{{\begin{array}{l}{p=-4}\\{q=3}\end{array}}\right.$，
所以存在$\left\{{\begin{array}{l}{p=-4}\\{q=3}\end{array}}\right.$滿(mǎn)足A∩B≠∅且A∩C_RB={1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素和集合的關(guān)系，以及交補(bǔ)運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，屬于中檔題．