Question

13．如圖，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求直線A₁B與平面DBC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BD⊥BC，BD⊥BB₁，由此能證明DB⊥平面B₁BCC₁．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線A₁B與平面DBC₁所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2，
∴BC=DC=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，∴BD²+BC²=DC²，
∴BD⊥BC，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，∴BD⊥BB₁，
∵BC∩BB₁=B，
∴DB⊥平面B₁BCC₁．
解：（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A₁（1，0，2），B（1，1，0），D（0，0，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
設(shè)平面DBC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
設(shè)直線A₁B與平面DBC₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直線A₁B與平面DBC₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的求法，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．