Question

18．球O的半徑為R，過球O的半徑的中點(diǎn)作截面，該截面的面積為3π，若一個(gè)直四棱柱的底面是邊長為1的正方形，且八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則該四棱柱的表面積為4$\sqrt{14}$+2．

Answer 1

分析 由已知得${R}^{2}-\frac{{R}^{2}}{4}=3$，從而R=2，設(shè)這個(gè)直四棱柱的高為h，則$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{h}^{2}}$=2×2，由上此能求出該四棱柱的表面積．

解答 解：∵球O的半徑為R，過球O的半徑的中點(diǎn)作截面，該截面的面積為3π，
設(shè)截面圓的半徑為r，則πr²=3π，解得r=$\sqrt{3}$，
∴${R}^{2}-\frac{{R}^{2}}{4}=3$，解得R=2，
∵一個(gè)直四棱柱的底面是邊長為1的正方形，且八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，
設(shè)這個(gè)直四棱柱的高為h，
∴$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{h}^{2}}$=2×2，解得h=$\sqrt{14}$，
∴該四棱柱的表面積為：
S=4×$\sqrt{14}×1$+2×1²=4$\sqrt{14}$+2．
故答案為：$4\sqrt{14}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱柱的表面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用．