Question

1．如圖，二面角α-l-β的大小是30°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°．則AB與平面β所成的角的正弦值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內過C作l的垂線．垂足為D，連接AD，從而∠ADC為二面角α-l-β的平面角，連接CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．

解答 解：過點A作平面β的垂線，垂足為C，
在β內過C作l的垂線．垂足為D
連接AD，有三垂線定理可知AD⊥l，
故∠ADC為二面角α-l-β的平面角，為30°
又由已知，∠ABD=30°
連接CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角
設AD=2，則AC=1，CD=$\sqrt{3}$，AB=4
∴sin∠ABC=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及直線與平面所成角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．