Question

1．己知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC為圓C₁：（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的內(nèi)接正三角形，則$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）的最小值為5．

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，由三角形的中心可得$\overrightarrow{{C}_{1}A}$+$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）=（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）•（2$\overrightarrow{O{C}_{1}}$-$\overrightarrow{{C}_{1}A}$），運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)和定義，化簡(jiǎn)可得7-2cos∠OC₁A，再由向量共線可得最小值．

解答 解：圓C₁：（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的圓心為C₁（1，$\sqrt{3}$），半徑為1，
由C₁為正三角形ABC的中心，可得$\overrightarrow{{C}_{1}A}$+$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=$\overrightarrow{0}$，
則$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）=（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）•（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}C}$）
=（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）•（2$\overrightarrow{O{C}_{1}}$-$\overrightarrow{{C}_{1}A}$）=2$\overrightarrow{O{C}_{1}}$²-$\overrightarrow{{C}_{1}A}$²+$\overrightarrow{O{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{C}_{1}A}$
=2×（1+3）-1-2cos∠OC₁A=7-2cos∠OC₁A，
當(dāng)$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{O{C}_{1}}$同向共線時(shí)，cos∠OC₁A取得最大值1，
即有$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$）的最小值為7-2=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，以及圓的方程的運(yùn)用，屬于中檔題．