Question

6．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，且a≠1，m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）探究函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若a=2，試求函數(shù)f（x）在[3，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）得出log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=-log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=log_a$\frac{x-1}{1-mx}$，化簡(jiǎn)得$\frac{1+mx}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-mx}$，解出即可；
（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性討論得出結(jié)論．
（3）由第（2）問結(jié)論利用單調(diào)性求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，且a≠1，m≠1）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），
即log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=-log_a$\frac{1-mx}{x-1}$．
∴l(xiāng)og_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=log_a$\frac{x-1}{1-mx}$
∴$\frac{1+mx}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-mx}$，
∴m=-1；
（2）f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$=log_a（1+$\frac{2}{x-1}$）
令g（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，g′（x）=-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$＜0，
∴g（x）=1+$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）上是減函數(shù)．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由（2）知當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在[3，5]上為減函數(shù)．
∴f_min（x）=f（5）=log₂$\frac{3}{2}$，
f_max（x）=f（3）=log₂2=1．
∴f（x）在[3，5]上的值域是[log₂$\frac{3}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．