Question

8．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，求復(fù)ω=$\frac{1+z}{z}$在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的軌跡．

Answer 1

分析 化簡復(fù)數(shù)ω，設(shè)出ω=（x，y），z=（x₁，y₁），由復(fù)數(shù)相等用x、y表示出x₁與y₁，消去x₁與y₁即得ω的軌跡方程．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，∴z•$\overline{z}$=4；
∴復(fù)數(shù)ω=$\frac{1+z}{z}$=$\frac{1}{z}$+1=$\frac{\overline{z}}{z•\overline{z}}$+1=$\frac{1}{4}$$\overline{z}$+1；
設(shè)ω=（x，y），z=（x₁，y₁），則${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=4；
∴x+yi=$\frac{1}{4}$（x₁-y₁i）+1，
整理得x₁-y₁i=（4x-4）+4yi，
∴x₁=4x-4，y₁=-4y，
即（4x-4）²+（-4y）²=4，
化簡得（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$；
即ω在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的軌跡是以點（1，0）為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的計算與應(yīng)用問題，也考查了軌跡方程的求法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．