Question

3．設(shè)S_n是公比q（q＞0），首項(xiàng)為1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 討論q=1，0＜q＜1，q＞1，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合數(shù)列極限的公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：若q=1，則a_n=a₁=1，S_n=n，
即有$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{n+1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$
=$\frac{1}{1+0}$=1；
若q≠1，則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-{q}^{n}}{1-{q}^{n+1}}$，
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1-0}{1-0}$=1；
當(dāng)q＞1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{{q}^{n}}-1}{\frac{1}{{q}^{n}}-q}$=$\frac{0-1}{0-q}$=$\frac{1}{q}$．
綜上可得0＜q≤1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=1；
q＞1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{q}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列極限的求法，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，同時(shí)考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．