Question

16．若雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與漸近線在第一象限交點為M，且點M到原點的距離為2．（1）求雙曲線的標準方程．
（2）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，經(jīng)過點M、F₁的直線與雙曲線在第一象限相交于點A，則△AF₁F₂面積．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和漸近線方程求得交點M，由兩點的距離公式可得a=2，c=4，求得b，進而得到雙曲線的方程；
（2）由M，F(xiàn)₁的坐標可得直線為y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$（x+4），代入雙曲線的方程，求得交點A，再由三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=2，
將直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，代入漸近線方程y=$\frac{a}$x，可得交點M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由題意可得|MO|=$\sqrt{\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$=2，由c²=a²+b²，可得a=2，c=4，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）經(jīng)過點M（1，$\sqrt{3}$），F(xiàn)₁（-4，0）的直線為y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$（x+4），
代入雙曲線的方程3x²-y²=12，
可得6x²-2x-29=0，
解得x=$\frac{1-5\sqrt{7}}{6}$（舍去）或x=$\frac{1+5\sqrt{7}}{6}$，
即有A（$\frac{1+5\sqrt{7}}{6}$，$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{21}}{6}$），
可得△AF₁F₂面積為$\frac{1}{2}$•8•$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{21}}{6}$=$\frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用離心率公式和漸近線方程，考查三角形的面積的求法，注意運用直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，求交點，考查運算能力，屬于中檔題．