Question

4．如圖，在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，其中AB∥CD，AB⊥AD，AB=AC=2CD=2，AA₁=$\sqrt{3}$，過(guò)AC的平面分別與A₁B₁，B₁C₁交于E₁，F(xiàn)₁，且E₁為A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求錐體B-ACF₁E₁的體積．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)C₁E₁，則可證四邊形A₁D₁C₁E₁是平行四邊形，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，故而AE₁∥DC₁，AC∥A₁C₁，于是平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D；
（II）將棱錐分解成三棱錐E₁-ABC和三棱錐E₁-BCF₁，分別計(jì)算兩個(gè)小三棱錐的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)C₁E₁
∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=2D₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
又E₁為A₁B₁的中點(diǎn)，則A₁E₁$\underline{\underline{∥}}$D₁C₁，
∴四邊形A₁D₁C₁E₁是平行四邊形，∴C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$A₁D₁．
又A₁D₁$\underline{\underline{∥}}$AD，∴C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$AD．
∴四邊形ADC₁E₁是平行四邊形，∴AE₁∥DC₁．
∵在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，∴AC∥A₁C₁．
又AE₁?平面ACF₁E₁，AC?平面ACF₁E₁，DC₁?平面A₁C₁D，A₁C₁?平面A₁C₁D，AC∩AE₁=A，DC₁∩A₁C₁=C₁，
∴平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D．
（Ⅱ）解：∵在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥平面A₁B₁C₁D₁，
AC?平面ACF₁E₁，平面ACF₁E₁∩平面A₁B₁C₁D₁=E₁F₁，
∴AC∥E₁F₁，又AC∥A₁C₁，
∴A₁C₁∥E₁F₁．
又E₁為A₁B₁的中點(diǎn)，∴F₁為B₁C₁的中點(diǎn)．
∵底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=2，
∴△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△E₁B₁C₁是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．
連接CE₁，BE₁，點(diǎn)E₁到平面BCC₁B₁的距離h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則V_E1-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=1，
V_E1-BCF1=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{F}_{1}}$•h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴錐體B-ACF₁E₁的體積為V=${V_{{E_1}-ABC}}+{V_{{E_1}-BC{F_1}}}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的性質(zhì)，面面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．