Question

17．平面上一機(jī)器人P在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F（0，2）的距離比到x軸的距離多2個(gè)單位，已知點(diǎn)M（0，-2），當(dāng)$\frac{|PM|}{|PF|}$的值最大時(shí)，$\overrightarrow{PM}$在$\overrightarrow{PF}$上的投影為4．

Answer 1

分析 求出P點(diǎn)的軌跡方程，用P的橫坐標(biāo)x表示出$\frac{|PM|}{|PF|}$，求出$\frac{|PM|}{|PF|}$取最大值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，得出$\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{PF}$及其夾角，結(jié)合圖形計(jì)算出投影．

解答 解：設(shè)P（x，y），則$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}=|y|+2$，∴x=0，y≤0或y=$\frac{{x}^{2}}{8}$．
當(dāng)y≤0時(shí)，|PM|≤|PF|，∴$\frac{|PM|}{|PF|}$≤1．
當(dāng)y＞0時(shí)，P（x，$\frac{{x}^{2}}{8}$），∴|PM|=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{{x}^{2}}{8}+2）^{2}}$，|PF|=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{{x}^{2}}{8}-2）^{2}}$．
∴（$\frac{|PM|}{|PF|}$）²=$\frac{{x}^{2}+（{\frac{{x}^{2}}{8}+2）}^{2}}{{x}^{2}+（\frac{{x}^{2}}{8}-2）^{2}}$=1+$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{1}{2}}$=2．當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{x}^{2}}{64}=\frac{4}{{x}^{2}}$即x=±4時(shí)取等號(hào)．
綜上，當(dāng)P=±4時(shí)，$\frac{|PM|}{|PF|}$取得最大值．
不妨x=4，則P（4，2），∴△PFM是等腰直角三角形，∴$\overrightarrow{PM}$在$\overrightarrow{PF}$上的投影為|$\overrightarrow{PF}$|=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，軌跡方程，兩點(diǎn)間的距離公式，基本不等式，屬于中檔題．