Question

2．圓C₁：（y-4）²+x²=2，圓C₂：（y+4）²+x²=2，過C₁點作直線L₁交圓C₁于E、F，過C₂點作直線L₂交圓于M、N，P是平面上一點，且|PC₁|+|PC₂|=10，則$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值為46．

Answer 1

分析 由|PC₁|+|PC₂|=10，可知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1上的點，設其點的坐標為（x₀，y₀），再設E、F的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），M、N的坐標為（x₃，y₃），（x₄，y₄），根據(jù)向量的坐標以及向量的數(shù)量積的運算得到$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=-$\frac{32}{9}$x₀²+78，再根據(jù)-3≤x₀≤3，即可求出最小值．

解答 解：由|PC₁|+|PC₂|=10，可知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1上的點，設其點的坐標為（x₀，y₀），
再設E、F的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），M、N的坐標為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
則x₁與x₂，x₃與x₄關于y軸對稱，y₁與y₂關于y=4軸對稱，y₃與y₄關于y=-4軸對稱
∴x₁+x₂=0，x₃+x₄=0，y₁+y₂=8，y₃+y₄=-8，
∴$\overrightarrow{PE}$=（x₁-x₀，y₁-y₀），$\overrightarrow{PF}$=（x₂-x₀，y₂-y₀），$\overrightarrow{PM}$=（x₃-x₀，y₃-y₀），$\overrightarrow{PN}$=（x₄-x₀，y₄-y₀），
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（x₂-x₀，y₂-y₀）+（x₃-x₀，y₃-y₀）•（x₄-x₀，y₄-y₀），
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+y₁y₂-y₀（y₁+y₂）+y₀²+x₃x₄-x₀（x₃+x₄）+x₀²+y₃y₄-y₀（y₃+y₄）+y₀²，
=x₁x₂+x₀²+y₁y₂-8y₀+y₀²+x₃x₄+x₀²+y₃y₄+8y₀+y₀²，
=-x₁²+2x₀²-y₁²+8y₁+2y₀²-x₃²-y₃²-8y₃，
=-[x₁²+（y₁-4）²-16]-[x₃²+（y₃+4）²-16]+2x₀²+2y₀²，
=-（2-16）-（2-16）+2x₀²+2y₀²，
=28+2x₀²+2y₀²，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{25}$=1，
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=28+2x₀²+2（25-$\frac{25}{9}$x₀²）=-$\frac{32}{9}$x₀²+78，
∵-3≤x₀≤3
當x₀=3或-3時，有最小值，即為46．

點評 本題考查了圓的方程橢圓的定義以及方程，向量的坐標運算和向量的數(shù)量積的運算，培養(yǎng)學生的運算能力，轉化能力，屬于難題．