Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，公差為d，首項(xiàng)a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n．令cn=(-1)nSn(n∈N*)，{c_n}的前20項(xiàng)和T₂₀=330．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=2（a-2）d^n-2+2^n-1，a∈R．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n+1≤b_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用T₂₀=330，求出公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先求出b_n，再根據(jù)b_n+1≤b_n，n∈N^*，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?span id="amqbxiy" class="MathJye">cn=(-1)nSn，
所以T₂₀=-S₁+S₂-S₃+S₄+…+S₂₀=330，
則a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330…（3分）
則10(3+d)+

10×9

2

×2d=330
解得d=3
所以a_n=3+3（n-1）=3n…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知b_n=2（a-2）3^n-2+2^n-1b_n+1-b_n=2（a-2）3^n-1+2ⁿ-[2（a-2）3^n-2+2^n-1]
=4（a-2）3^n-2+2^n-1=4•3n-2[(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2]
由b_n+1≤b_n?(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2≤0?a≤2-

1

2

(

2

3

)n-2…（10分）
因?yàn)?span id="ai1esgz" class="MathJye">2-

1

2

(

2

3

)n-2隨著n的增大而增大，
所以n=1時(shí)，2-

1

2

(

2

3

)n-2最小值為

5

4

，
所以a≤

5

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．