Question

給出以下四個命題：
①設(shè)p：a²+a≠0，q：a≠0，則p是q的充分不必要條件；
②過點（-1，2）且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是x+y-1=0；
③若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f（2x）與y=

1

2

g（x）的圖象也關(guān)于直線y=x對稱；
④若直線xsinα+ycosα+1=0和直線xcosα-

1

2

y-1=0垂直，則角α=kπ+或α=2kπ+

π

6

（k∈Z）．
其中正確命題的序號為

 

．（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：①a²+a≠0⇒a≠或-1，反過來不成立；由直線在坐標軸上的截距定義，可得②是假命題；根據(jù)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，可得③是真命題；根據(jù)兩條直線垂直的充要條件，結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，可得④是假命題．

解答： 解：對于①a²+a≠0⇒a≠0且-1，反過來不成立，∴p是q的充分不必要條件；
對于②，過點（-1，2）且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程除了x+y-1=0還有y=-2x，故②不正確；
對于③，由題意，（a，b）滿足y=f（x），則（b，a）滿足y=g（x），∴（

a

2

，b）滿足y=f（x），則（b，

a

2

）滿足y=g（x），
∴函數(shù)y=f（2x）與y=

1

2

g（x）的圖象也關(guān)于直線y=x對稱，正確；
對于④，直線xsinα+ycosα+1=0和直線xcosα-

1

2

y-1=0垂直，則sinαcosα-

1

2

cosα=0，可得sinα=

1

2

或cosα=0，所以α=2kπ+

π

6

或α=2kπ+

5π

6

或α=kπ+

π

2

（k∈Z），由此可得④不正確；
故答案為：①③

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了充分不必要條件、兩條直線位置關(guān)系和簡單的三角方程等知識，屬于中檔題．