Question

9．已知雙曲線C與橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4）．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若F₁，F(xiàn)₂為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F₁PF₂=120°．求△PF₂F₁的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$有相同焦點(diǎn)，我們可以設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（含參數(shù)a），然后根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4），得到一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程，即可得到a²的值，進(jìn)而得到雙曲線的方程．
（2）由題意可得F₁ （0，-3），F(xiàn)₂（0，3），由余弦定理可得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{20}{3}$，由S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin120°，求得△F₁PF₂的面積．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$的焦點(diǎn)為（0，±3），c=3，
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1，
∵過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4），則$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{9-{a}^{2}}$=1
得a²=4或36，而a²＜9，∴a²=4，
雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（2）由題意可得，a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，得F₁ （0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
又|F₁F₂|²=36，||PF₁|-|PF₂||=4，
由余弦定理可得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos120°=（|PF₁|-|PF₂|）²+3|PF₁|•|PF₂|=16+3|PF₁|•|PF₂|=36，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{20}{3}$
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin120°=$\frac{1}{2}×\frac{20}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)已知條件設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（含參數(shù)a），并構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的方程，是解答本題的關(guān)鍵．