Question

14．設數列{a_n}為遞增的等比數列，且{a₁，a₃，a₅}⊆{-8，-3，-2，0，1，4，9，16，27}．數列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}滿足c_n=$\frac{{4}^{n}}{_{n}•_{n+1}}$，且數列{c_n}的前n項和為T_n，并求使得T_n＞$\frac{1}{{a}_{m}}$對任意n∈N^*都成立的正整數m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據{a_n}為遞增的等比數列且a₃²=a₁a₅，得到a₁=1，a₃=4，a₅=16，進而求得a_n，b_n的通項公式；
（2）利用裂項相消法求數列的前n項和，再用分離參數法和單調性求m的最小值．

解答 解：（1）因為數列{a_n}為遞增的等比數列，且a₃²=a₁a₅，
再觀察集合中的元素，只有4²=1×16，
所以，a₁=1，a₃=4，a₅=16，
所以，{a_n}的通項公式為：a_n=2^n-1，
而b_n+1-2b_n=8a_n=2ⁿ⁺²，
所以，$\frac{_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=2，
所以，數列{$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為1，公差為2的等差數列，
即$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=2n-1，所以，b_n=（2n-1）2ⁿ；
（2）因為c_n=$\frac{{4}^{n}}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{4^n}{（2n-1）（2n+1）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$]，
所以，數列{c_n}的前n項和為：T_n=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{2n+1}$]，
根據題意，T_n＞$\frac{1}{{a}_{m}}$可寫成，$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{2n+1}$]＞$\frac{1}{{2}^{m-1}}$，
即2^m-3＞$\frac{1}{1-\frac{1}{2n+1}}$對任意正整數n都成立，設g（n）=$\frac{1}{1-\frac{1}{2n+1}}$，
顯然，g（n）在自然數集上單調遞減，
所以，2^m-3＞[g（n）]_max=g（1）=$\frac{3}{2}$，即2^m-2＞3，
因此，滿足上述不等式的m的最小整數為4，
故整數m的最小值為4．

點評 本題主要考查了數列通項公式的求法，涉及等差等比數列的性質，數列求和，以及與不等式的綜合應用，屬于難題．