(07年福建卷文)(本小題滿分14分)

如圖,已知點F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過Pl的垂線,垂足為點Q,且

?

(I)求動點P的軌跡C的方程;

(II)過點F的直線交軌跡CA、B兩點,交直線l于點M.

(1)已知的值;

(2)求||?||的最小值.

本小題考查直線、拋物線、向量等基礎知識,考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法,考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分.

解析:解法一:(I)設點Px,y),則Q(-1,y),由得:

(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y),化簡得Cy2=4x.

(II)(1)設直線AB的方程為:

 

x=my+1(m≠0).

Ax1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-).

聯(lián)立方程組,消去x得:

y2-4my-4=0,

△     =(-4m)2+12>0,

得:

,整理得:

,

=

=-2-

=0.

解法二:(I)由

?,

=0,

所以點P的軌跡C是拋物線,由題意,軌跡C的方程為:y2=4x.

(II)(1)由已知

則:…………①

過點A、B分別作準l的垂線,垂足分別為A1、B1,

則有:…………②

由①②得:

(II)(2)解:由解法一:

?=(2|y1-yM||y2-yM|

                       =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|

                       =(1+m2)|-4+  ×4m+|
  =

                       =4(2+m2+4(2+2)=16.

當且僅當,即m=1時等號成立,所以?最小值為16.

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