2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若E是PA的中點(diǎn)，求證PC∥平面BDE；
（2）是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？證明你的結(jié)論
（3）在（1）的條件下求四面體D-BEC的體積．

分析 （1）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明；
（3）轉(zhuǎn)換底面，利用三棱錐的體積公式，即可求四面體D-BEC的體積．

解答 （1）證明：連接AC交BD于O，連接OE．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OC，
又∵AE=EP，∴OE∥PC．
又∵PC?平面BDE，OE?平面BDE．
∴PC∥平面BDE．
（2）解：不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵CE?平面PAC．
∴BD⊥CE；
（3）解：E是PA的中點(diǎn)，EA=1，EA⊥面BCD，
∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴S△BCD=$\frac{1}{2}$，
∴VD-BEC=VE-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理及三棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

6．已知點(diǎn)P（x，y），其中x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ y-2≥0\\ x-1≥0\end{array}$，則z1=$\frac{y}{x}$的取值范圍[1，3]，z=$\frac{y^2}{x}$的最大值是9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{5}^{x}，x≥0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}$，則f（log5$\frac{1}{3}$）的值等于（　�。�
A．3B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{8}$D．8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．下列結(jié)論正確的是（　�。�
A．命題p：?x＞0，都有x2＞0，則?p：?x0≤0，使得x02≤0
B．若命題p和p∨q都是真命題，則命題q也是真命題
C．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對(duì)邊，則a＜b的充要條件是cosA＞cosB
D．命題“若x2+x-2=0，則x=-2或x=1”的逆否命題是“x≠-2或x≠1，則x2+x-2≠0”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x-1}$．
（1）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）求不等式f（x）≥-2的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)AB=2，M，N，P分別是C1C，BC1，C1D1的中點(diǎn)．
（1）直線A1C1交PN于點(diǎn)E，直線AC1交平面MNP于點(diǎn)F，求證：M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
（2）求三棱錐D-MNP的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=3，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ） 求三棱錐A-CDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．如圖所示，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中CD∥AB，AD⊥AB，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且AD=DC=PA=$\frac{1}{2}$AB=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M為PB中點(diǎn)，求四面體M-PAC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

12．根據(jù)教材P45第6題可以證明函數(shù)g（x）=x2+ax+b滿足性質(zhì)$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，理解其中的含義．對(duì)于函數(shù)f（x）=2x，h（x）=log2x及任意實(shí)數(shù)x1，x2，仿照上述理解，可以推測(cè)（　�。�
A．$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
B．$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
C．$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
D．$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$

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