Question

【題目】已知直線半徑為的圓與直線相切,圓心在軸上且在直線的上方.

（1）求圓的方程;

（2）設過點 的直線被圓截得弦長等于,求直線的方程;

（3）過點的直線與圓交于兩點（在軸上方）,問在軸正半軸上是否存在點,使得軸平分?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）或;（3）當點,能使得總成立.

【解析】

（1）設出圓心坐標根據(jù)直線與圓相切,得到圓心到直線的距離,確定出圓心坐標,即可得出圓方程;

（2）根據(jù)垂徑定理及勾股定理,由過點的直線被圓截得的弦長等于,分直線斜率存在與不存在兩種情況求出直線的方程即可;

（3）當直線軸則軸平分,當直線斜率存在時,設直線方程為,聯(lián)立圓與直線方程消去得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積,由若軸平分,則,求出的值,確定出此時坐標即可.

解:（1）設圓心,

因為直線,半徑為的圓與相切,

,即,解得或（舍去）,

則圓方程為: .

（2）由題意可知圓心到直線的距離為

若直線斜率不存在,則直線,圓心到直線的距離為1;

若直線斜率存在,設直線,即,

則有 ,即,此時直線,

綜上直線的方程為或;

（3）當直線軸,則軸平分,若軸平分,

則,即,

整理得:,

即,

解得:,

當點,能使得總成立.