【題目】已知函數(shù).證明:

1)存在唯一x0∈(0,1),使f(x0)0;

2)存在唯一x1∈(12),使g(x1)0,且對(1)中的x0,有x0x1<2

【答案】1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)求導后根據(jù)極值點的存在性定理證明即可.

(2),換元將m再構(gòu)造函數(shù),分析的單調(diào)性,結(jié)合(1)中的結(jié)論求得存在唯一的,使,再根據(jù)零點的大小關系即可證明.

證明:(1)x∈(0,1)時,f′(x)0,函數(shù)f(x)在(0,1)上為增函數(shù).又f(0)-e+1<0,f(1)3>0,所以存在唯一x0∈(0,1),使f(x0)0

(2)x∈(1,2)時,,

,x=2-t,x∈(1,2,t∈(0,1),

,t∈(0,1

記函數(shù),t∈(0,1).

h′(t)

(1)得,當t(0,x0)時,f(t)<0,h′(t)0,

t(x0,1)時,f(t)>0,h′(t)<0

故在(0,x0)h(t)是增函數(shù),又h(0)0,從而可知當t(0,x0]時,h(t)>0,所以h(t)(0,x0]上無零點.

(x0,1)h(t)為減函數(shù),由h(x0)>0,h(1)ln2<0,知存在唯一t1(x0,1),使h(t1)0,

故存在唯一的t1(0,1),使h(t1)0

因此存在唯一的x12t1(1,2),使g(x1)g(2t1)h(t1)0

因為當t(0,1)時,1t>0,故g(2t)有相同的零點,所以存在唯一的x1∈(1,2),使g(x1)0

因為x12t1,t1>x0,所以x0x1<2

練習冊系列答案
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A.B.C.D.

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