Question

3．（1）在極坐標(biāo)系中，曲線C₁：ρ（$\sqrt{2}$cosθ+sinθ）=1與曲線C₂：ρ=α（α＞0）的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求α的值．
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=α，且點(diǎn)A在直線上，求α的值及直線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程；
（2）同（1）即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：ρ（$\sqrt{2}$cosθ+sinθ）=1的普通方程為$\sqrt{2}$x+y=1，曲線C₂：ρ=α（α＞0）對(duì)應(yīng)的普通方程為x²+y²=a²．在$\sqrt{2}$x+y=1中，令y=0得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
將點(diǎn)$（\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$代入x²+y²=a²得$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），在直線ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=α上可得α=$\sqrt{2}$．
直線方程可化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=$\sqrt{2}$．
∴直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，屬于基礎(chǔ)題．