Question

12．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²（1+sin²θ）=2．
（Ⅰ）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）已知點P（1，0），當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，直線l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)α=$\frac{3π}{4}$時，直線l與曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|+|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|的值．

Answer 1

分析 （I）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：y=（x-1）tanα．曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²（1+sin²θ）=2，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
即可判斷出位置關(guān)系．
（II）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，直線l的方程為y=x-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得交點坐標(biāo)，可得|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|．同理可得|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|．

解答 解：（I）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：y=（x-1）tanα．
曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²（1+sin²θ）=2，化為x²+y²+y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
由于直線l經(jīng)過定點（1，0），在橢圓C的內(nèi)部，因此直線l與曲線C的相交．
（II）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，直線l的方程為y=x-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$×$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)α=$\frac{3π}{4}$時，直線l的方程為y=-x+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
同理可得|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|=$\frac{2}{3}$．
∴|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|+|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了直線的參數(shù)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與曲線相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．