Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=log₂（a_n+1），求數(shù)列{b_n•a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=2a_n+1變形可得（a_n+1+1）=2（a_n+1），進(jìn)而可得{a_n+1}是以2為公比、2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過${a_n}={2^n}-1$，可得b_n•a_n=n•2ⁿ-n，記A=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算A-2A的值，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴（a_n+1+1）=2（a_n+1）
∵a₁+1=2≠0，∴a_n+1≠0，
∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，
∴{a_n+1}是以2為公比、2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴${a_n}+1={2^n}$，
∴${a_n}={2^n}-1$；
（2）∵${a_n}={2^n}-1$，
∴${b_n}={log_2}（{a_n}+1）={log_2}{2^n}=n$，
∴${b_n}•{a_n}=n•（{2^n}-1）=n•{2^n}-n$，
記A=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴2A=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A=A-2A
=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故${S_n}=A-（1+2+…+n）=（n-1）•{2^{n+1}}+2-\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．