【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P是線段AB中點(diǎn),平面ABCD.

(1)求證:平面EPC;

(2)問在EP上是否存在點(diǎn)F,使平面平面BFC?若存在,求出的值;若不存在請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2)存在,,理由見解析.

【解析】

1)由已知得∠APD=∠BPC45°,∠DPC90°,從而DPPC,由EP⊥平面ABCD,得EPDP,由此能證明DP⊥平面EPC

2)假設(shè)存在F,使平面AFD⊥平面BFC,由已知得AD∥平面BFC,從而AD平行于平面AFD與平面BFC的交線l,由已知得EPAD,而ADAB,從而l⊥平面FAB,∠AFB為平面AFD與平面BFC所成二面角的平面角,由此能求出當(dāng)時(shí),平面AFD⊥平面BFC

解:(1)證明:∵在矩形ABCD中,AB2BC,

P、Q分別是線段ABCD中點(diǎn),

∴∠APD=∠BPC45°,∴∠DPC90°,∴DPPC,

EP⊥平面ABCDDP平面ABCD,

EPDP,

PCEPP,∴DP⊥平面EPC

2)解:假設(shè)存在F,使平面AFD⊥平面BFC

ADBC,BC平面BFC,AD不包含于平面BFC,

AD∥平面BFC,

AD平行于平面AFD與平面BFC的交線l,

EP⊥平面ABCD,

EPAD,而ADAB

ABEPP,∴AD⊥平面EAB,∴l⊥平面FAB,

∴∠AFB為平面AFD與平面BFC所成二面角的平面角,

PAB的中點(diǎn),且FPAB

∴當(dāng)∠AFB90°時(shí),FPAP,

∴當(dāng)時(shí),平面AFD⊥平面BFC

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)設(shè),討論的單調(diào)性;

(Ⅱ)若對(duì)任意恒有,求的取值范圍.

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(1)求證:

(2)若不等式上恒成立,求正數(shù)的取值范圍.

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(1)證明:2a+b=2;

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【題目】世界那么大,我想去看看,每年高考結(jié)束后,處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈,旅游可支配收入日益增多,可見高中畢業(yè)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出(單位:百元)的情況,相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表:

組別

頻數(shù)

(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布,若該市共有高中畢業(yè)生35000人,試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在 8100元以上;

(3)已知本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生,3名男生, 現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪,記選出的男生人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附:若,則,,.

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,求證: .

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【題目】某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開始六個(gè)月試銷A、B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表:

投資A商品金額(萬元)

1

2

3

4

5

6

獲純利潤(rùn)(萬元)

0.65

1.39

1.85

2

1.84

1.40

投資B商品金額(萬元)

1

2

3

4

5

6

獲純利潤(rùn)(萬元)

0.25

0.49

0.76

1

1.26

1.51

該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品,但不知投入A、B兩種商品各多少才最合算請(qǐng)你幫助制定一下資金投入方案,使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn),并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大利潤(rùn)(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)

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【題目】在古代,直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”,較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”.三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”( 如圖) 證明了勾股定理,證明方法敘述為:“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實(shí)二,倍之為朱實(shí)四,以勾股之差自相乘為中黃實(shí),加差實(shí),亦成弦實(shí).”這里的“實(shí)”可以理解為面積.這個(gè)證明過程體現(xiàn)的是這樣一個(gè)等量關(guān)系:“兩條直角邊的乘積是兩個(gè)全等直角三角形的面積的和(朱實(shí)二 ),4個(gè)全等的直角三角形的面積的和(朱實(shí)四) 加上中間小正方形的面積(黃實(shí)) 等于大正方形的面積(弦實(shí))”. 若弦圖中“弦實(shí)”為16,“朱實(shí)一”為,現(xiàn)隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆(大小忽略不計(jì)),則其落入小正方形內(nèi)的概率為( )

A. B. C. D.

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