Question

17．已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），A（2，9），B（6，-3），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14，且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，點(diǎn)Q是邊AB上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0．
（1）求實(shí)數(shù)λ的值與點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)P（14，y），分別表示$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{PB}$然后由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{PB}$，建立關(guān)于y的方程可求y；
（2）先設(shè)點(diǎn)Q（a，b），則可表示向量$\overrightarrow{OQ}$，由$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AP}=0$，可得3a=4b，再由點(diǎn)Q在邊AB上可得$\frac{12}{-4}=\frac{b+3}{a-6}$，從而可解a，b，進(jìn)而可得Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)P（14，y），則$\overrightarrow{OP}=（14，y），\overrightarrow{PB}=（-8，-3-y）$，
∵$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{PB}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{14=-8λ}\\{y=-3λ-yλ}\end{array}\right.$，解得$λ=-\frac{7}{4}，y=-7$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（14，-7）．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（a，b），則$\overrightarrow{OQ}=（a，b）$，$\overrightarrow{AP}=（12，-16）$，
∵$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AP}=0$，∴12a-16b=0，即3a=4b．
∵點(diǎn)Q在邊AB上，∴k_AB=k_BQ，即$\frac{12}{-4}=\frac{b+3}{a-6}$，即3a+b-15=0；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3a=4b}\\{3a+b-15=0}\end{array}\right.$，解得a=4，b=3，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（4，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的基本定理，屬于中檔題．