Question

17．已知△OAB的頂點坐標為O（0，0），A（2，9），B（6，-3），點P的橫坐標為14，且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，點Q是邊AB上一點，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0．
（1）求實數(shù)λ的值與點P的坐標；
（2）求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）先設P（14，y），分別表示$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{PB}$然后由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{PB}$，建立關(guān)于y的方程可求y；
（2）先設點Q（a，b），則可表示向量$\overrightarrow{OQ}$，由$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AP}=0$，可得3a=4b，再由點Q在邊AB上可得$\frac{12}{-4}=\frac{b+3}{a-6}$，從而可解a，b，進而可得Q的坐標．

解答 解：（1）設P（14，y），則$\overrightarrow{OP}=（14，y），\overrightarrow{PB}=（-8，-3-y）$，
∵$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{PB}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{14=-8λ}\\{y=-3λ-yλ}\end{array}\right.$，解得$λ=-\frac{7}{4}，y=-7$，
∴點P坐標為（14，-7）．
（2）設點Q（a，b），則$\overrightarrow{OQ}=（a，b）$，$\overrightarrow{AP}=（12，-16）$，
∵$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AP}=0$，∴12a-16b=0，即3a=4b．
∵點Q在邊AB上，∴k_AB=k_BQ，即$\frac{12}{-4}=\frac{b+3}{a-6}$，即3a+b-15=0；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3a=4b}\\{3a+b-15=0}\end{array}\right.$，解得a=4，b=3，
∴點Q坐標為（4，3）．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的基本定理，屬于中檔題．