Question

4．給出下列命題：
①命題“?x∈k，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”
②函數(shù)$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{{{a^x}+1}}（a＞0$且a≠1）在R上是單調(diào)函數(shù)
③設f（x）是R上的任意函數(shù)，則f（x）|f（-x）|是奇函數(shù)，f（x）+f（-x）是偶函數(shù)
④定義在R上的函數(shù)f（x）對任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，則f（x）為周期函數(shù)
其中真命題的是①②④（把所有真命題的序號都填上）

Answer 1

分析 寫出原命題的否定，可判斷①；分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷②；分析函數(shù)的奇偶性，可判斷③；分析函數(shù)的周期性，可判斷④．

解答 解：①命題“?x∈k，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故正確；
②函數(shù)$f（x）=\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}=\frac{-2}{{a}^{x}+1}+1（a＞0$且a≠1），
當0＜a＜1時函數(shù)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
當a＞1時函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故②正確；
③設f（x）是R上的任意函數(shù)，
當f（x）是偶函數(shù)時，則f（-x）|f（x）|=f（x）|f（-x）|，
此時f（x）|f（-x）|也是偶函數(shù)，錯誤；
但f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)，故（3）錯誤；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，則$f（x-4）=-\frac{4}{f（x-2）}=-\frac{4}{-\frac{4}{f（x）}}$=f（x），即f（x）為周期是4的周期函數(shù)，故正確；
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性，命題的否定，難度中檔．