Question

19．已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），定點$A（{0，-\sqrt{3}}）$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是圓錐曲線C的左、右焦點．
（1）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經(jīng)過點F₁且平行于直線AF₂的直線l的極坐標方程；
（2）設（1）中直線l與圓錐曲線C交于M，N兩點，求$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$．

Answer 1

分析 （1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，由橢圓的標準方程確定相關(guān)點的坐標，再由點斜式寫出直線l的直角坐標方程，最后轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可
（2）將直線方程與橢圓標準方程聯(lián)立，利用韋達定理和能求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$．

解答 解：（1）∵圓錐曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴普通方程為C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，∴A（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)2（1，0），F(xiàn)1（-1，0）
∴kAF2=$\sqrt{3}$，l：y=$\sqrt{3}$（x+1）
∴直線l極坐標方程為：ρsinθ=$\sqrt{3}$ρcosθ+$\sqrt{3}$，
即2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．
（2）（2將直線y=$\sqrt{3}$（x+1）代入橢圓標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得5x²+8x=0，
設M（x₁，y₁，N（x₂，y₂，則x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=0，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x₂+1，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（1+$\sqrt{3}$）（x₁+1）（x₂+1）=（1+$\sqrt{3}$）[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]
=（1+$\sqrt{3}$）]（1-$\frac{8}{5}$）
=-$\frac{3}{5}$-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程，標準方程及其互化，直線的直角坐標方程及與其極坐標方程的互化，直線與橢圓的位置關(guān)系，求相交弦長的方法．