Question

20．在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足$（2c-b）cosA=asin（\frac{π}{2}-B）$．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=2，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$；求b，c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后將sinC=sin（A+B）代入求出cosA的值，即可確定出角A的大��；
（Ⅱ）利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積S，將已知面積與sinA的值代入得到bc的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入得到b與c的方程，聯(lián)立求出b與c的值即可．

解答 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡得：（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，即2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
整理得：2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=4①，
利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即8=b²+c²②，
聯(lián)立①②解得：b=c=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．