Question

19．若橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=l（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{3}{5}$，且橢圓C的一個焦點(diǎn)與拋物線y²=-12x的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（2，0），點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn)．當(dāng)|MQ|最小時(shí)，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)P（m，O）為橢圓C長軸（含端點(diǎn)）上的一個動點(diǎn)．過P點(diǎn)斜率為$\frac{4}{5}$的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)λ=
丨PA|²+|PB|²．試判斷λ的取值是否與m有關(guān)，若有關(guān)，求出λ的取值范圍；若無關(guān)，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再由離心率求得半長軸的長，從而得到短半軸長，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）用坐標(biāo)表示出|MQ|²，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出|PA|²+|PB|²，根據(jù)|PA|²+|PB|²的值與m無關(guān)．

解答 解：（1）由題意可得：拋物線y²=-12x的焦點(diǎn)（-3，0），
由于離心率e=$\frac{3}{5}$，則a=5，故b=4
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）設(shè)Q（x，y），-5≤x≤5
則|MQ|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+16-$\frac{16}{25}$x²=$\frac{9}{25}$x²-4x+20．
由于對稱軸為x=$\frac{50}{9}$＞5，∴x=5時(shí)，|MQ|²取得最小值
∴當(dāng)|MQ|最小時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，0）；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=$\frac{4}{5}$（x-m）
由于設(shè)P（m，O）為橢圓C長軸（含端點(diǎn)）上的一個動點(diǎn)，則-5≤m≤5，
將直線代入橢圓方程，消去y可得2x²-2mx+m²-25=0
則x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²-25），
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=$\frac{41}{25}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{41}{25}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2m（x₁+x₂）+2m²]
=$\frac{41}{25}$[m²-（m²-25）-2m²+2m²]=$\frac{41}{25}$×25=41
故|PA|²+|PB|²的值與m無關(guān)．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查配方法的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．