Question

4．如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，BF⊥AE，F(xiàn)是垂足．
（1）求證：BF⊥AC；
（2）如果圓柱與三棱錐A-BCE的體積比等于3π，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的性質(zhì)可得：AB⊥CE，利用圓的性質(zhì)可得BE⊥CE，于是CE⊥平面ABE，可得CE⊥BF，利用線面垂直的判定定理即可證明．
（2）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的高為2r；利用圓柱與三棱錐A-BCE的體積比等于3π，可得BE•EC=2r²，BE²+CE²=4r²，解得：BE=EC=r．分別以EB、EC所在直線為x軸、y軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系；利用線面垂直的性質(zhì)分別求出平面BAC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，平面CAE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$，利用向量夾角公式即可得出．

解答 （1）證明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，
∴AB⊥CE，
∵BC為圓的直徑，∴BE⊥CE，
∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B．  
∴CE⊥平面ABE，
∵BF?平面ABE，∴CE⊥BF，
 又BF⊥AE，且CE∩AE=E，
∴BF⊥平面AEC，
又AC?平面AEC，
∴BF⊥AC．
（2）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的高為2r；
V_圓柱=πr²•2r=2πr³．
V_A-BEC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$BE•EC•2r=$\frac{1}{3}$•BE•EC•r
由題意：圓柱與三棱錐A-BCE的體積比等于3π，
∴BE•EC=2r²，
BE²+CE²=4r²，
解得：BE=EC=$\sqrt{2}$r．
分別以EB、EC所在直線為x軸、y軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系；
則E（0，0，0），B（$\sqrt{2}$r，0，0），C（0，$\sqrt{2}$r，0），A（$\sqrt{2}$r，0，2r），
$\overrightarrow{AB}$=（0，0，2r），$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}$r，$\sqrt{2}$r，-2r），$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{2}$r，0），$\overrightarrow{EA}$=（$\sqrt{2}$r，0，2r），
設(shè)平面BAC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），則由$\overrightarrow{{n}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AB}$得：$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}$=0，
即：-r（$\sqrt{2}$x₁-$\sqrt{2}$y₁+2z₁）=0，2rz₁=0，
取y₁=1得：x₁=1，z₁=0，$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，0）．
設(shè)平面CAE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），則由$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}⊥\overrightarrow{EA}$得：$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{EA}$=0
即$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=0}\\{\sqrt{2}r{x}_{2}+2r{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₂=-1，解得：y₂=0，x₂=$\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{2}$，0，-1）．
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由圖形可知：二面角B-AC-E為銳二面角，
∴二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓柱的性質(zhì)、線面垂直判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)、勾股定理，考查了通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．