Question

7．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax-x²（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在[e，+∞）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的x∈（1，+∞），f（x）＞-x²+（k+a-1）x-k恒成立，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞） 上為減函數(shù)，f′（x）≤0，即lnx+1+a-2x≤0在區(qū)間[e，+∞）上恒成立，推出a≤2x-lnx-1在x∈[e，+∞） 上恒成立．構(gòu)造新函數(shù)求出新函數(shù)的最小值，推出結(jié)果．
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＞-x²+（k+a-1）x-k恒成立，轉(zhuǎn)化為k（x-1）＜xlnx+x恒成立．
法一：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為$k＜\frac{xlnx+x}{x-1}$ 對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的最小值，然后求解k的值為1，2，3．                                                     …（14分）
法二，令g（x）=f（x）-[（k+a-1）x-k]，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)當(dāng)2-k≥0時(shí)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求解k．當(dāng)2-k＜0時(shí)，即k＞2時(shí)，求解k．即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax-x²（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a-2x，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞） 上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，f′（x）≤0，即lnx+1+a-2x≤0在區(qū)間[e，+∞）上恒成立，…（2分）
∴a≤2x-lnx-1在x∈[e，+∞） 上恒成立．
令g（x）=2x-lnx-1，$g'（x）=2-\frac{1}{x}=\frac{2x-1}{x}$，當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$時(shí)，g′（x）≥0，g（x）單增； $x∈（0，\left.{\frac{1}{2}}]$時(shí)，g′（x）≤0，g（x）單減．
∴x∈[e，+∞）時(shí)，g（x）_min=g（e）=2e-2∴a≤2e-2．                  …（5分）
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＞-x²+（k+a-1）x-k恒成立，
即k（x-1）＜xlnx+x恒成立．
法一：∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$k＜\frac{xlnx+x}{x-1}$ 對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，…（7分）
設(shè)函數(shù)$h（x）=\frac{xlnx+x}{x-1}$，則$h'（x）=\frac{x-lnx-2}{{{{（x-1）}^2}}}$，
再設(shè)m（x）=x-lnx-2，則$m'（x）=1-\frac{1}{x}$．
∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，
則m（x）=x-lnx-2在x∈（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
∴?x₀∈（3，4），使m（x₀）=x₀-lnx₀-2=0．
∴當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，m（x）＜0，h（x）＜0；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，m（x）＞0，h（x）＞0         …（10分）
∴$h（x）=\frac{xlnx+x}{x-1}$在x∈（1，x₀）上遞減，在x∈（x₀，+∞）上遞增．
∴h（x）的最小值為$h（{x_0}）=\frac{{{x_0}ln{x_0}+{x_0}}}{{{x_0}-1}}$．
∵m（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，∴l(xiāng)n（x₀）+1=x₀-1，代入函數(shù)$h（{x_0}）=\frac{{{x_0}ln{x_0}+{x_0}}}{{{x_0}-1}}$，得h（x₀）=x₀，
∵x₀∈（3，4），且k＜h（x），對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴k＜h（x）_min=x₀，∴k≤3，
∴k的值為1，2，3．                                                     …（14分）
法二（同比例給分）：令g（x）=f（x）-[（k+a-1）x-k]=xlnx-（k-1）x+k（x＞1），
∴g′（x）=lnx+1-（k-1）=lnx+2-k，
當(dāng)2-k≥0時(shí)，即k≤2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N^*
∴k=1或k=2．
當(dāng)2-k＜0時(shí)，即k＞2時(shí)，g′（x）=0⇒x=e^k-2，
∴g（x）在（1，e^k-2）上單調(diào)遞減，在（e^k-2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴$g{（x）_{min}}＞g（{{e}^{k-2}}）={{e}^{k-2}}（k-2）-（k-1）{{e}^{k-2}}+k=k-{{e}^{k-2}}＞0$恒成立，
∴k＞e^k-2，而k∈N^*，
∴k=3．
綜上可得，k=1或k=2或k=3時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．