Question

17．已知a₁，a₂，…，a_n是由m（n∈N^*）個整數(shù)1，2，…，n按任意次序排列而成的數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=n+1-a_k（k=1，2，…，n）．
（1）當n=3時，寫出數(shù)列{a_n}和{b_n}，使得a₂=3b₂；
（2）證明：當n為正偶數(shù)時，不存在滿足a_k=b_k（k=1，2，…，n）的數(shù)列{a_n}；
（3）若c₁，c₂，…，c_n是1，2，…，n按從大到小的順序排列而成的數(shù)列，寫出c_k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c₁+2c₂+…+nc_n．
（參考：1²+2²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1））

Answer 1

分析 （1）取n=3，可得數(shù)列{a_n}，結(jié)合b_k=n+1-a_k求得數(shù)列{b_n}，驗證a₂=3b₂得答案；
（2）若a_k=b_k，則有a_k=n+1-a_k（k=1，2，…，n），得到${a}_{k}=\frac{n+1}{2}$，由n為正偶數(shù)，得n+1為大于1的正奇數(shù)，故$\frac{n+1}{2}$不為正整數(shù)，結(jié)合a₁，a₂，…，a_n是均為正整數(shù)，說明不存在滿足a_k=b_k（k=1，2，…，n）的數(shù)列{a_n}；
（3）由題意可得，c_k=n-（k-1）=（n+1）-k，然后利用數(shù)列的分組求和得答案．

解答 （1）解：當n=3時，數(shù)列{a_n}為：1，2，3； 1，3，2； 2，1，3； 2，3，1； 3，1，2； 3，2，1．
當{a_n}為：1，2，3時，此時對應的{b_n}為：3，2，1，不滿足題意；依次可得滿足題意的數(shù)列{a_n}和{b_n}分別為：
{a_n}：1，3，2，{b_n}：3，1，2；或{a_n}：2，3，1，{b_n}：2，1，3．
（2）證明：若a_k=b_k（k=1，2，…，n），則有a_k=n+1-a_k（k=1，2，…，n），
于是${a}_{k}=\frac{n+1}{2}$，當n為正偶數(shù)時，n+1為大于1的正奇數(shù)，故$\frac{n+1}{2}$不為正整數(shù)，
∵a₁，a₂，…，a_n是均為正整數(shù)，
∴不存在滿足a_k=b_k（k=1，2，…，n）的數(shù)列{a_n}；
（3）解：由題意可得，c_k=n-（k-1）=（n+1）-k，
∴S_n=c₁+2c₂+…+nc_n=[（n+1）-1]+2[（n+1）-2]+…+n[（n+1）-n]
=（1+2+…+n）（n+1）-（1²+2²+…+n²）
=$\frac{1}{2}n（n+1）^{2}-\frac{1}{6}n（n+1）（2n+1）$=$\frac{1}{6}n（n+1）（n+2）$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的應用，考查數(shù)列的函數(shù)特性，屬難題．