Question

2．已知關(guān)于x的函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}x_{\;}^3+bx_{\;}^2+cx+bc$．
（1）如果函數(shù)$f（x）在x=1處有極值-\frac{4}{3}$，求b、c；
（2）設(shè)當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，3）時(shí)，函數(shù)y=f（x）-c（x+b）的圖象上任一點(diǎn)P處的切線斜率為k，若k≤2，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=-$\frac{4}{3}$，f′（1）=0，解方程可得b，c，檢驗(yàn)是否由極值點(diǎn)；
（2）求得函數(shù)y=f（x）-c（x+b）=-$\frac{1}{3}$x³+bx²，求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得2b≤x+$\frac{2}{x}$的最小值，運(yùn)用基本不等式可得右邊函數(shù)的最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}x_{\;}^3+bx_{\;}^2+cx+bc$導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-x²+2bx+c，
函數(shù)$f（x）在x=1處有極值-\frac{4}{3}$，可得f（1）=-$\frac{4}{3}$，f′（1）=0，
即為-1+2b+c=0，-$\frac{1}{3}$+b+c+bc=-$\frac{4}{3}$，
解得b=1，c=-1；b=-1，c=3．
當(dāng)b=1，c=-1時(shí)，f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，f（x）遞減，不滿足題意；
當(dāng)b=-1，c=3時(shí)，f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），滿足題意．
綜上可得，b=-1，c=3：
（2）函數(shù)y=f（x）-c（x+b）=-$\frac{1}{3}$x³+bx²，導(dǎo)數(shù)f′（x）=-x²+2bx，
由題意可得-x²+2bx≤2在x∈（$\frac{1}{2}$，3）時(shí)恒成立，
即有2b≤x+$\frac{2}{x}$的最小值，
由x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，取得最小值2$\sqrt{2}$．
即有2b≤2$\sqrt{2}$，解得b≤$\sqrt{2}$，
則b的范圍是（-∞，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．