Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），x∈（0，π）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求x的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由向量平行得，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=0，解出tanx，結(jié)合x的范圍求出x；
（2）利用定義式和坐標(biāo)運算求出數(shù)量積，列方程解出x．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=0，即sinx+cosx=0，∴tanx=-1．
∴x∈（0，π），∴x=$\frac{3π}{4}$．
（2）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=1，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$=1.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×$1×cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
又∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sinx$-$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}sinx$-$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx$=sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
∵x∈（0，π），∴x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．∴x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$．
∴x=$\frac{5π}{12}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的恒等變換，向量的位置關(guān)系與數(shù)量積的關(guān)系．