Question

2．（1）求橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成圖形的面積；
（2）求橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析 （1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成圖形的面積S=4${∫}_{0}^{a}ydx$=4${∫}_{0}^{a}\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$，由定積分公式能求出結(jié)果．
（2）利用定積分能求出橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1關(guān)于x軸和y軸都對稱，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成圖形的面積：
S=4${∫}_{0}^{a}ydx$=4${∫}_{0}^{a}\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$，
令x=asinθ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，
則$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-{a}^{2}si{n}^{2}θ}$=acosθ，
dx=acosθdθ，
∴S=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}\frac{a}•a•cosθ•α•cosθdθ$
=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（cosθ）^{2}dθ$
=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}\frac{1+cos2θ}{2}dθ$
=$2ab[\frac{π}{2}{+∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cos2θdθ]$
=2ab$•\frac{π}{2}$
=πab．
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：
V_x=${∫}_{-a}^{a}$$π^{2}（1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}）dx$=$\frac{4}{3}πa^{2}$，
橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍成圖形分別繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：
V_y=${∫}_{-b}^π{a}^{2}（1-\frac{{y}^{2}}{^{2}}）dy$=$\frac{4}{3}π{a}^{2}b$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓面積的求法，考查橢圓所圍成圖形分別繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意定積分的性質(zhì)的合理運(yùn)用．