Question

1．在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA=$\frac{b+2asinB-2acosC}{2c}$．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面積為$\frac{1}{2}$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）運用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡整理，即可得到角A；
（2）運用余弦定理和面積公式，結合重要不等式，可得a的最小值．

解答 解：（1）由cosA=$\frac{b+2asinB-2acosC}{2c}$及正弦定理得，
2（sinCcosA+cosCsinA）=sinB+2sinAsinB，
2sin（C+A）=sinB+2sinAsinB，
由A+B+C=π，則sin（C+A）=sinB，
則sinB=2sinAsinB
在△ABC中sinB≠0，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$；
（2）△ABC面積為$\frac{1}{2}$，
所以S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，即bc=2，
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4cosA≥2bc-4cosA=4-4cosA（當且僅當b=c取得等號）
①若A=$\frac{π}{6}$則a²$≥4-4cosA=4-2\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$-1）²（當且僅當b=c=$\sqrt{2}$取得等號）
②若A=$\frac{5π}{6}$則a²≥4-4cosA=4+2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$+1）²（當且僅當b=c=$\sqrt{2}$時取得等號）
所以，若A=$\frac{π}{6}$，則a的最小值為$\sqrt{3}$-1；
A=$\frac{5π}{6}$，則a的最小值為$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式的運用，同時考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運用及重要不等式的運用，屬于中檔題．