Question

9．已知△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x-2y-5=0，
（1）求直線AC的方程；
（2）求點B的坐標（x₀，y₀）；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知方程和AC⊥BH可得直線AC的斜率，可得方程；
（2）由題意可得x₀和y₀的方程組，解方程組可得；
（3）易得點C的坐標為（4，3），由距離公式可得|AC|和|BH|，代入面積公式可得．

解答 解：（1）由題意知AC⊥BH，k_AC=-2，
∴直線AC的方程為y-1=-2（x-5）
化為一般式可得2x+y-11=0；
（2）∵點B與點A的中點在直線CM上，
∴2•$\frac{{x}_{0}+5}{2}$-$\frac{{y}_{0}+1}{2}$-5=0，
又∵點B在直線BH上，
∴x₀-2y₀-5=0，
聯(lián)立解得x₀=-1，y₀=-3，即B（-1，-3）
（3）將y=-2x+11代入2x-y-5=0得點C的坐標為（4，3），
∴|AC|=$\sqrt{5}$，|BH|=$\frac{|-2-3-11|}{\sqrt{5}}$=$\frac{16}{\sqrt{5}}$，
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$|AC||BH|=8

點評 本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，涉及距離公式，屬基礎(chǔ)題．