Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩焦點為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），過F₂作x軸的垂線交雙曲線于A，B兩點，若△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，則此雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{24-8\sqrt{5}}-\frac{{y}^{2}}{384-128\sqrt{5}}$=1．

Answer 1

分析 欲求雙曲線的離心率，只須建立a，c的關(guān)系式即可，由雙曲線的定義得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，從而△ABF₁周長為：2|AB|+4a，利用△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，得到△ABF₁面積為：S=$\frac{1}{2}$（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S=$\frac{1}{2}$|AB|×2c，由面積相等即可建立a，c的關(guān)系，進而求出a，b，即可求得此雙曲線的方程．

解答 解：由雙曲線的定義得：
|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a兩式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
又在雙曲線中，|AB|=2×$\frac{^{2}}{a}$，
∴△ABF₁周長為：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4×$\frac{^{2}}{a}$+4a，
∵△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，
∴△ABF₁面積為：S=$\frac{1}{2}$（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a
又S=$\frac{1}{2}$|AB|×2c，
∴$\frac{1}{2}$（4×$\frac{^{2}}{a}$+4a）×a=$\frac{1}{2}$|AB|×2c
即c²-a²=ac
∵c=4，
∴a²+4a-16=0，
∴a=2$\sqrt{5}$-2，
∴b=8$\sqrt{5}$-8，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{24-8\sqrt{5}}-\frac{{y}^{2}}{384-128\sqrt{5}}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{24-8\sqrt{5}}-\frac{{y}^{2}}{384-128\sqrt{5}}$=1．

點評 本題考查雙曲線的離心率和三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，在解題過程中要注意隱含條件的挖掘，注意應(yīng)用三角形面積的不同計算方法建立關(guān)于a，b，c的等式求a．