Question

14．設函數f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R），當k∈（${\frac{1}{2}$，1）時，求函數f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

分析 求出函數的導數，求出極值點，判斷函數的單調性然后求解函數的最大值即可．

解答 解：f（x）=（x-1）e^x-kx²
f′（x）=x（e^x-2k）=0可得x₁=0，x₂=ln2k．∵k∈（$\frac{1}{2}$，1]，則2k∈（1，2]．
∴l(xiāng)n2k∈（0，ln2]令x₂＞x₁

∴在（0，ln2k）↓（ln2k，k）↑圖象
由圖象可知最大值在0處或k處取得，
∴f（k）-f（0）=（k-1）e^k-k³+1=（k-1）e^k-（k-1）（k²+k+1）=（k-1）（e^k-k²-k-1）
令h（k）=e^k-k²-k-1h′（k）=e^k-2k-1h′′（k）=e^k-2=0
∴k=ln2在（$\frac{1}{2}$，1]上先減后增h′（1）=e-3＜0，h′（${\frac{1}{2}}$）=$\sqrt{e}$-2＜0
∴h′（k）_max＜0，即h（k）單調遞減∴h（k）_max=h（${\frac{1}{2}}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{2}$=$\sqrt{e}$-$\frac{7}{4}$
又∵e-$\frac{49}{16}$＜0∴f（k）-f（0）＞0．
∴f（x）_max=f（k）=（k-1）e^k-k³=（k-1）e^k-k³．

點評 本題的精華點在于導函數與原函數的穿插運用，注意圖象中導函數與原函數的圖象的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．