Question

2．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$，g（x）=$\frac{11x•{3}^{x-1}-{2}^{x}}{{3}^{x}}$，實(shí)數(shù)a，b滿足a＜b＜0，若?x₁∈[a，b]，?x₂∈[-1，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，則b-a的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)g（x）=$\frac{11x•{3}^{x-1}-{2}^{x}}{{3}^{x}}$=$\frac{11}{3}$x-$（\frac{2}{3}）^{x}$，從而判斷單調(diào)性及取值范圍，化簡(jiǎn)f（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=-2-（x+$\frac{4}{x}$），從而判斷單調(diào)性，從而解得．

解答 解：g（x）=$\frac{11x•{3}^{x-1}-{2}^{x}}{{3}^{x}}$
=$\frac{11}{3}$x-$（\frac{2}{3}）^{x}$在[-1，1]上單調(diào)遞增，
故g（-1）≤g（x）≤g（1），
即-$\frac{31}{6}$≤g（x）≤3，
f（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=-2-（x+$\frac{4}{x}$），
故f（x）在（-∞，-2）上是減函數(shù)，
在（-2，0）上是增函數(shù)；
f（-2）=-2+4=2，
令f（x）=3解得，
x=-1或x=-4；
故b的最大值為-1，a的最小值為-4，
故b-a的最大值為3，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)算的應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想方法應(yīng)用．