Question

f（x）=x-a（x+1）ln（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)的極值點(diǎn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（Ⅲ）要證（1+m）ⁿ＜（1+n）^m，只須證：

ln(1+m)

m

＜

ln(1+n)

n

，設(shè)g（x）=

ln(1+x)

x

，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)m＞n＞0時(shí)，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=1-aln（x+1）-a（1分）
①a=0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
函數(shù)既無極大值點(diǎn)，也無極小值點(diǎn)．（2分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，e

1-a

a

 -1]上遞增，
在[e

1-a

a

-1，+∞）單調(diào)遞減，
函數(shù)的極大值點(diǎn)為x=e

1-a

a

-1，無極小值點(diǎn)（3分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-1，e

1-a

a

-1]上遞減，
在[e

1-a

a

-1，+∞）單調(diào)遞增，
函數(shù)的極小值點(diǎn)為x=e

1-a

a

-1，無極大值點(diǎn)（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，
又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，（6分）
∴f（1）-f（-

1

2

）＜0，∴當(dāng)t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩解．（8分）
（Ⅲ）證明：要證（1+m）ⁿ＜（1+n）^m，只須證明nln（1+n）＜mln（1+n），
只須證：

ln(1+m)

m

＜

ln(1+n)

n

，
設(shè)g（x）=

ln(1+x)

x

，x＞0，
則g′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

，
由（1）知x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數(shù)，而m＞n，
∴g（m）＜g（n），
∴當(dāng)m＞n＞0時(shí)，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．（12分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．