Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均滿足a₁=3，a₂=9，a_n+1•a_n-1=a_n²（n≥2，n∈N）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=

1

log3an•log3an+1

，前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：對(duì)于任意的正數(shù)n，總有T_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1•a_n-1=a_n²（n≥2，n∈N），所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，結(jié)合a₁=3，q=3求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）由（1）b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法得出T_n=1-

1

n+1

＜1．

解答： （1）解：由已知得a_n+1•a_n-1=a_n²（n≥2，n∈N），所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．            
因?yàn)閍₁=3，a₂=9∴q=3，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ．
（2）證明：由（1）∵b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力．