Question

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍;

（2）設(shè)兩個極值點分別為：，，證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）由題得，令，則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點等價于在區(qū)間內(nèi)至少有兩個不同的零點，再利用導數(shù)得到，解不等式即得解；

（2）分析得到要證：，只需證明，即證，不妨設(shè)，即證，構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)，其中，證明即得證.

（1）由題意可知，的定義域為，

且，

令，

則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點等價于在區(qū)間內(nèi)至少有兩個不同的零點.

由可知，

當時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)，不符合題意，舍去.

當時，由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故要滿足題意，必有，解得.

（2）證明：由（1）可知，，

故要證，

只需證明，

即證，不妨設(shè)，即證，

構(gòu)造函數(shù)，其中，

由，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以得證.

即證.