18.(Ⅰ)若α,β是銳角,且$α+β=\frac{π}{4}$,求(1+tanα)(1+tanβ)的值.
(Ⅱ)已知$\frac{π}{2}<β<α<\frac{3π}{4}$,且$cos({α-β})=\frac{12}{13}$,$sin({α+β})=-\frac{3}{5}$,求sin2α的值.

分析 (Ⅰ)由$α+β=\frac{π}{4}$,借助于兩角和的正切化簡(jiǎn)求值;
(Ⅱ)由已知,把sin2α轉(zhuǎn)化為sin[(α+β)+(α-β)],展開兩角和的正弦得答案.

解答 解:(I)∵$α+β=\frac{π}{4}$,
∴tan(α+β)=1.
∴(1+tanα)(1+tanβ)=tanα+tanβ+tanαtanβ+1
=tan(α+β)•(1-tanαtanβ)+tanαtanβ+1
=1-tanαtanβ+tanαtanβ+1=2.
(II)∵$\frac{π}{2}<β<α<\frac{3π}{4}$,∴$π<α+β<\frac{3π}{2}$,$0<α-β<\frac{π}{4}$.
又∵$cos({α-β})=\frac{12}{13}$,$sin({α+β})=-\frac{3}{5}$,
∴$sin(α-β)=\frac{5}{13}$,$cos(α+β)=-\frac{4}{5}$,
∴sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)$sin(α-β)=-\frac{56}{65}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,考查了“拆角配角”思想的應(yīng)用,是中檔題.

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3.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且$a_5^2={a_{10}}$,$2({a_n}+{a_{n+2}})=5{a_{n+1}},n∈{N^*}$.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令${b_n}={(-1)^n}({a_n}+1)$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足:$\frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2})cos\frac{π(x-y)}{2}$,且$f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$,并且當(dāng)$x∈(0,\frac{1}{2})時(shí),f(x)>0$.給出如下結(jié)論:
①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
②函數(shù)f(x)在$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$上單調(diào)遞增;
③函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù);
④$f(-\frac{5}{2})=0$
其中正確的結(jié)論是( 。
A.①②B.②③C.①④D.③④

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7.在區(qū)間[0,3]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)a、b,則其中使函數(shù)f(x)=-bx+a+1在[0,1]內(nèi)有零點(diǎn)的概率是( 。
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8.如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,則該零件的表面積為(單位:cm2)( 。
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