Question

已知函數f（x）的圖象如圖所示，若函數y=f（x）-

1

x

-a在區(qū)間[-10，10]上有10個零點（互不相同），則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  4

  5

  ，

  4

  5

  ]
• B、(-

  4

  5

  ，

  4

  5

  )
• C、[-

  1

  10

  ，

  1

  10

  ]
• D、(-

  1

  10

  ，

  1

  10

  )

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：可采用數形結合的方法解決問題，因為f（x）-

1

x

是奇函數，只需判斷a≥0時的滿足題意的a的范圍，然后即可解決問題．

解答： 解：y=f（x）-

1

x

-a在區(qū)間[-10，10]上有10個零點（互不相同），即函數y=f（x）與y=g（x）=

1

x

+a的圖象在[-10，10]上有10個不同的交點．
先研究a≥0時的情況，如圖，當a=0時，g（x）=

1

x

恰好與y=f（x）產生10個交點；
當a＞0時，y=

1

x

+a的圖象是將y=

1

x

向上平移a個單位，則在y軸右邊，當g（9）＜1時，右邊產生4個交點；
同時y軸左邊滿足g（-10）≤0時，左邊產生6個交點．
這樣共產生10個交點，即

g(9)＜1 g(-10)≤0

，解得0≤a≤

1

10

．
同理，根據函數圖象的對稱性可知，當a＜0時，只需-

1

10

≤a＜0時滿足題意．
綜上，當-

1

10

≤a≤

1

10

時，
函數y=f（x）-

1

x

-a在區(qū)間[-10，10]上有10個零點（互不相同）．


故選C

點評：本題考查了數形結合的方法研究函數的零點個數的問題，要注意參數變化時函數圖象的變化規(guī)律．屬于中檔題．