Question

8．函數(shù)f（x）=k•a^x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1的圖象經(jīng)過點A（0，1）和B（3，8），g（x）=$\frac{f（x）-1}{f（x）+1}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）試判斷g（x）的奇偶性；
（Ⅲ）記a=g（ln2）、b=g（ln（ln2））、c=g（ln$\sqrt{2}$），d=g（ln²2），試比較a，b，c，d的大小，并將a，b，c，d從大到小順序排列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將A，B的坐標代入f（x），解方程可得a，k，進而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）運用奇偶性的定義，求出定義域，求得g（-x）是否等于±g（x），進而判斷g（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判斷g（x）是定義在R上的增函數(shù)，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a，b，c，d的大小．

解答 解：（Ⅰ）代入A（0，1）和B（3，8）中得
k•a⁰=1，且k•a³=8，解得k=1，a=2，
即有f（x）=2^x；                 
（Ⅱ）∵g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴$g（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=-g（x）$，
又2^x+1≠0，x∈R，
∴g（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
（Ⅲ）∵$g（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$
∴g（x）是定義在R上的增函數(shù)，
又∵$ln\sqrt{e}＜ln2＜lne$，
∴$\frac{1}{2}＜ln2＜1$，$\frac{1}{2}ln2＜{ln^2}2＜ln2$，
又ln（ln2）＜0，
∴$ln2＞{ln^2}2＞ln\sqrt{2}＞ln（{ln2}）$．                   
$g（{ln2}）＞g（{{{ln}^2}2}）＞g（{ln\sqrt{2}}）＞g（{ln（{ln2}）}）$，
即a＞d＞c＞b．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運用，同時考查函數(shù)的奇偶性的判斷，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查對數(shù)的化簡運算，屬于中檔題．