Question

3．如圖，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF₂與橢圓C的一個交點，∠F₁AF₂=60°
1）求橢圓C的離心率；
2）已知△AF₁B的面積為40$\sqrt{3}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）通過∠F₁AF₂=60°及對稱性即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)|BF₂|=t，則|BF₁|=2a-t，利用余弦定理可得t=$\frac{3}{5}$a，利用S=$\frac{1}{2}$|AF₁||AB|sin60°=40$\sqrt{3}$，計算可得a²=100，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠F₁AF₂=60°，
∴∠F₂AO=30°，
又∵△AOF₂為直角三角形，
∴a=2c，
即橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)|BF₂|=t，則|BF₁|=2a-t，
又∵∠BF₂F₁=120°，|F₁F₂|=2c，
∴|BF₁|²=|BF₂|²+|F₁F₂|²-2|BF₂||F₁F₂|cos120°
即（2a-t）²=t²+a²+at，
整理得：3a²=5at，
∴t=$\frac{3}{5}$a，
∵△AF₁B面積S=40$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|AF₁||AB|sin60°=40$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$•a•（a+$\frac{3}{5}$a）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$，
整理得：a²=100，
解得：a=10，
∴c=$\frac{1}{2}$a=5，b²=a²-c²=100-25=75，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．